特殊矩阵(8)：Vandermonde 矩阵-白红宇

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法国数学家范德蒙(Alexandre-Théophile Vandermonde) 是行列式的奠基者之一，他在十八世纪提出行列式专有符号，将行列式应用于解线性方程组，并且对行列式理论进行了开创性的研究。两百多年后，他的名字因为一个特殊矩阵而经常被提及。Vandermonde 矩阵具有以下形式：

$A_N = \开始{bmatrix} 1＆X_1＆X_1 ^ 2＆\ cdots＆X_1 ^ {N-1} \\ 1 X_2＆X_2 ^ 2＆\ cdots＆X_2 ^ {N-1} \\？\ vdots＆\ vdots＆\ vdots＆\ ddots＆\ vdots \\ 1 x_n＆x_n ^ 2＆\ cdots＆x_n ^ {n-1个} \ {端} bmatrix$ ，

其中 $A_N = [{A_ IJ}]$ 是一个 $ñ\ n次$ 阶矩阵，各元为 $A_ {IJ} = X_I ^ {j-1}$ 。同样地， $A_N ^ T$ 也称为Vandermonde矩阵。

下面我们推导Vandermonde 矩阵的行列式。先看2 阶行列式

$\日期B_2 = \ BEGIN {Wmtriks} 1＆Ksh_l \\ 1 Ksh_2 \ {端} Wmtriks = Ksh_2-Ksh_l$ 。

接着，考虑3 阶行列式，以基本列运算化简再用余因子(cofactor) 展开计算，可得

$\开始{对齐} \ DET A_3＆= \开始{V矩阵} 1＆X_1＆X_1 ^ 2 \\ 1 X_2＆X_2 ^ 2 \\ 1个X_3＆X_3 ^ 2 \端{V矩阵} \\＆= \开始{V矩阵} 1＆X_1＆X_1 ^ 2 \\ 0＆X_2-X_1＆X_2 ^ 2- X_1 ^ 2 \\ 0＆X_3-X_1＆X_3 ^ 2-X_1 ^ 2 \端{V矩阵} \\＆= \开始{V矩阵} X_2-X_1＆X_2 ^ 2-X_1 ^ 2 \\ X_3-X_1＆X_3 ^ 2-X_1 ^ 2 \ {端V矩阵} \\＆=（X_2-X_1）（X_3-X_2）（X_3-X_1）。\ {端对齐}$

这时我们大胆猜测 $ñ\ n次$ 阶Vandermonde矩阵的行列式计算公式如下：

$\ DET A_N = \的DisplayStyle \ prod_ {1 \文件Ĵ<I \文件N}（X_I-x_j）$ 。

证明推导使用数学归纳法。假设 $至$ 阶Vandermonde行列式为

$\ DET A_k = \的DisplayStyle \ prod_ {1 \文件Ĵ<I \文件ķ}（X_I-x_j）$ ，

我们要证明 $K + 1$ 阶Vandermonde行列式也有相同的形式。将 $A_ {K + 1}$ 的最末列替换为 $1，X，X ^ 2，\ ldots，X ^ {K}$ ，设此矩阵的行列式为 $F（X）$ ，亦即

$F（X）= \开始{V矩阵} 1＆X_1＆X_1 ^ 2＆\ cdots＆X_1 ^ {K} \\ 1 X_2＆X_2 ^ 2＆\ cdots＆X_2 ^ {K} \\？\ vdots＆\ vdots＆\ vdots＆\ ddots＆\ vdots \\ 1 X_K＆X_K ^ 2＆\ cdots＆X_K ^ {K} \\ 1＆X＆X ^ 2＆\ cdots＆X ^ {K} \ {端} V矩阵$ 。

由最末列的余因子展开式可知 $F$ 为变数 $X$ 的 $至$ 次多项式。若矩阵有相同的两列，其行列式等于零，故 $F（X_I）= 0$ ， $I = 1,2，\ ldots，K$ ，也就是说 $X_I$ ， $I = 1,2，\ ldots，K$ ，为多项式 $F（X）$ 的 $至$ 个根， $F（X）$ 可表示为

$F（X）= \α（X-X_1）（X-X_2）\ cdots（X-X_K）$ ，

上式中 $\α$ 为非零常数，剩下的问题是决定 $\α$ 。

由 $F（X）$ 的余因子展开式可得到 $的x ^ {K}$ 的系数，也就是 $\α$ 的值，

$\开始{V矩阵} 1＆X_1＆X_1 ^ 2＆\ cdots＆X_1 ^ {K-1} \\ 1 X_2＆X_2 ^ 2＆\ cdots＆X_2 ^ {K-1} \\？\ vdots＆\ vdots＆\ vdots＆\ ddots＆\ vdots \\ 1 X_K＆X_K ^ 2＆\ cdots＆X_K ^ { K-1} \ {端} V矩阵$ 。

注意，上面的行列式即为 $\ mathrm {DET} A_k$ 。根据归纳法的假设，就有

$F（X）= \的DisplayStyle \左[\ prod_ {1 \文件Ĵ<I \文件ķ}（X_I-x_j）\右（X-X_1）（X-X_2）\ cdots（X-X_K）$ 。

还有一个不能错过的事实： $F（X_ {K + 1}）= \ mathrm {DET} A_ {K + 1}$ 。将 $X = X_ {K + 1}$ 代入上式，

$\ DET A_ {K + 1} = \的DisplayStyle \左[\ prod_ {1 \文件Ĵ<I \文件ķ}（X_I-x_j）\右]（X_ {K + 1} -x_1）（X_ {K + 1} -x_2）\ cdots（X_ {K + 1} -x_k）$ 。

整理等号右端，得到

$\ DET A_ {K + 1} = \的DisplayStyle \ prod_ {1 \文件Ĵ<I \文件K + 1}（X_I-x_j）$ ，

故证明所求。

Vandermonde矩阵常见于数值分析的内插(interpolation)问题。给出 $ñ$ 个资料点 $（X_I，Y_I）$ ， $I = 1,2，\ ldots，正$ ，求 $第（n-1）$ 次多项式

$P（X）= A_ {N-1}的x ^ {N-1} + {A_的n-2} X ^ {N-2} + \ cdots + a_1x + A_0$

满足

$\开始{对齐} P（X_1）= A_0 + a_1x_1 + \ cdots + A_ {N-1} X_1 ^ {N-1} = Y_1 \\ P（X_2）= A_0 + a_1x_2 + \ cdots + A_ {N- 1} X_2 ^ {N-1} = Y_2 \\＆\ vdots \\ p（x_n）= A_0 + a_1x_n + \ cdots + A_ {N-1} x_n ^ {N-1} = y_n。\ {端对齐}$

将上面的线性方程组写为矩阵形式 $A \ mathbf {A} = \ mathbf {Y}$ ，其中 $一个$ 为 $ñ\ n次$ 阶Vandermonde矩阵。内插问题就是要解出系数向量 $\ mathbf {A} = \ BEGIN {bmatrix} A_0＆A_1＆\ cdots＆A_ {N-1} \ {端} bmatrix ^ T$ 。如果 $ñ$ 个参数 $X_1，X_2，\ ldots，x_n$ 彼此相异，推知 $\ Mathrm {DET} A_N \ NEQ 0$ ， $一个$ 是可逆的，方程式必定存在唯一解。